随机事件与概率

一、随机试验与随机事件

1、随机试验

随机试验（random experiment）是在相同条件下对某随机现象进行的大量重复观测，用记号$E$表示。

2、随机事件

随机试验中的每一个可能结果称为随机事件（简称为事件），常用大写字母 $A$，$B$，$C$等表示。

随机事件的分类：

• 基本事件：只包含一个样本点的，不可能再分的事件；
• 复合事件：由基本事件复合而成的事件；
• 必然事件：一定发生的事件，记作$\Omega$；
• 不可能事件：一定不发生的事件，记作$\varnothing$。

3、样本空间

样本空间:由试验所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用符号$\Omega$表示，$\Omega$中的每个元素称为样本点。

4、事件及其运算关系

若记$\Omega$：样本空间，$\varnothing$：不可能事件，$e$：基本事件， $A$，$B$，$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_n$，$\cdots$为随机事件。则有事件之间的运算关系如下：

1. 包含关系： 记作$A\subset B$，表示事件$A$发生必导致事件$B$发生；
2. 相等关系： 记作$A = B$， 即$A\subset B$且$B\subset A$；
3. 和事件： 记作$A\cup B$，有限个事件和事件记作$A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n} = \bigcup_{i=1}^{n} A_{i}$，无限个事件和事件记作$A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n} \cup \cdots = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}$；
4. 积事件： 记作$A\cap B$（简记为$AB$），有限个事件的积事件记作$A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n} = \bigcap_{i=1}^{n} A_{i}$，无限多个事件的积事件记作$A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n} \cap \cdots = \bigcap_{i=1}^{\infty } A_{i}$；
5. 对立事件（余事件）：事件$B$的对立事件记作$\bar{B}$，表示事件$B$不发生；
6. 差事件： 事件$A$与事件$B$的差事件记作$A-B$，表示事件$A$发生而事件$B$不发生；
7. 互不相容（互斥）：若$AB =\varnothing$，则称事件$A$与事件$B$互不相容；若$\forall i \neq j,A_{i} A_{j}=\varnothing(i,j=1,2,\cdots)$，则称$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} \cdots$为两两互不相容的；
8. 若$AB =\varnothing$且$A\cup B=\Omega$，则称事件$A$与事件$B$互逆， 即$A=\bar{B}$，$B=\bar{A}$；
9. 摩根定理（对偶原理）：$\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B} \quad \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$；

二、频率与概率

1、频率

定义：设$E$为随机试验，$A$为其中任一事件，$n(A)$为事件$A$在$n$次重复试验中出现的次数，则称比值$\frac{n(A)}{n}$为$n$次试验中$A$出现的频率，记为$f_{n}(A) = \frac{n(A)}{n}$，其中$n(A)$称为事件$A$在$n$次重复试验中出现的频数。

性质：

1. 非负性：$0 \leq f_{n}(A) \leq 1$；
2. 规范性：$f_{n}(\Omega)=1$；
3. 可加性：若事件$A$与事件$B$互不相容，则$f_{n}(A \bigcup B)=f_{n}(A)+f_{n}(B)$，进一步，若$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}$两两互不相容，则$f_{n}(\bigcup_{i=1}^{m} A_{i})=\sum_{i=1}^{m} f_{n}(A_{i})$

2、概率

统计学定义：在不变条件下做大量重复试验，称在重复试验中事件$A$发生的频率的稳定值$p$为事件$A$的概率，记为$P(A)$。

公理化定义：设E为随机试验，$\Omega$为它的样本空间，对$E$中的每一个事件$A$都赋予一个实数，记为$P(A)$，且满足

1. 非负性：$0 \leq P(A) \leq 1$ ；
2. 规范性：$P(\Omega)=1$ ；
3. 可加性：若$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}, \cdots$两两互不相容，则有$P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_{i})$。
   则称$P(A)$为事件$A$的概率。

性质：

1. $P(\varnothing)=0$；
2. 若$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$两两互不相容，则$P(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i})=\sum_{i=1}^{n} P(A_{i})$；
3. 若$A$的对立事件记为$\bar{A}$ ，则$P(A)=1-P(\bar{A})$；
4. 若$A \subset B$，则$P(B-A)=P(B)-P(A)$且$P(A) \leq P(B)$；
5. $P(A \bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A B)$。一般地，$P(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i})=\sum_{i=1}^{n} P(A_{i})-\sum_{i<j}^{n} P(A_{i} A_{j})+\sum_{i<j<k}^{n} P(A_{i} A_{j} A_{k})+\cdots+(-1)^{n-1} P(A_{1} \cdots A_{n})$；
6. $P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)$。

三、古典概型与几何概型

1、古典概型

定义：设 $\Omega=\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\}$ ，如果 $P(e_{1})=P(e_{2})=\cdots=P(e_{n})$ ，则称这一概型为古典概型（等可能概型）。

特点：

• 样本空间 $\Omega$ 只包含有限个样本点（基本事件）；
• 每个样本点发生的可能性相同。

计算：对于古典概型，显然有 $P(e_{i})=1 / n, i=1,2, \cdots, n$ 。因此，若 $A\subset \Omega$ ，则 $P(A)=\frac{A \text { 中包含基本事件的个数 }}{\Omega \text { 中基本事件的总数 }} = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$。

2、几何概型

定义：如果一个试验具有以下两个特点：

1. $\Omega$ 是一个几何区域，且其大小可以计量（长度、面积、体积等），并把 $\Omega$ 的度量记为 $\mu(\Omega)$ ；
2. 向 $\Omega$ 中任掷一点，落在该区域任一点处都是等可能的，或者说，落在 $\Omega$ 中的区域 $A$ 内的可能性与 $A$ 的计量 $\mu(A)$ 成正比，而与 $A$ 的形状无关。
   称此种概型为几何概型。

设事件 $A \subset \Omega$ ，则 $P(A)=\frac{A的几何度量}{\Omega的几何度量}=\frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}$ 。

四、条件概率

1、条件概率

定义：设 $A$ 、$B$ 为样本空间 $\Omega$ 中的两个事件，$P(B)>0$ ，则称$P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}$为事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的条件概率。

性质：条件概率是概率的一种形式，同样满足概率的各种基本性质。

1. $P(\varnothing \mid B)=0$；
2. 若 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 两两互不相容，则$P(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \mid B)=\sum_{i=1}^{n} P(A_{i} \mid B)$；
3. 若 $A$ 的对立事件记为 $\bar{A}$ ，则 $P(A \mid B)=1-P(\bar{A} \mid B)$ ；
4. 加法公式：$P(A \bigcup B \mid C)=P(A \mid C)+P(B \mid C)-P(A B \mid C)$ ；
5. 减法公式：$P(A-B \mid C)=P(A \mid C)-P(A \cap B \mid C)$ ；
6. 乘法公式：$P(A B)=P(B) P(A \mid B), P(B)>0$ ，$P(A B)=P(A) P(B \mid A), P(A)>0$；
   推广：设 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 为 $n$ 个事件，则$$
   P(A_{1} A_{2} \cdots A_{n})= P(A_{1}) P(A_{2} \mid A_{1})
   P(A_{3} \mid A_{1} A_{2}) \cdots P(A_{n} \mid A_{1} A_{2} \cdots A_{n-1})$$

2、全概率公式

设 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 为两两互斥事件，且 $\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}=\Omega$，$P(A_{i})>0$，$(i=1,2, \cdots, n)$ ，即$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$是一个完备事件组，则 $\forall A \subset \Omega$ 有$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A_{i}) \cdot P(A \mid A_{i})$。

3、贝叶斯公式

设 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 为两两互斥事件，且 $\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}=\Omega$，$P(A_{i})>0$，$(i=1,2, \cdots, n)$ ，即$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$是一个完备事件组，则 $\forall A \subset \Omega, P(A)>0$ ，有$P(A_{i} \mid A)=\frac{P(B_iA)}{P(A)}=\frac{P(A_{i}) P(A \mid A_{i})}{\sum_{j=1}^{n} P(A_{j}) P(A \mid A_{j})} (i=1,2, \cdots, n)$。

六、事件的独立性

定义：设 $A$、$B$ 两个事件，如果$P(A B)=P(A) P(B)$，则称 $A$ 、$B$ 相互独立。

广义概念：

• 相互独立：设 $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{n}$ 为 $n$ 个随机事件，若对任意的 $k(1<k \leq n)$ ，及任意的 $1 \leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k} \leq n$ 有$P(A_{i_{1}} A_{i_{2}} \cdots A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}}) P(A_{i_{2}}) \cdots P(A_{i_{k}})$，则称 $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{n}$ 相互独立。
• 两两独立：设 $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{n}$ 为 $n$ 个随机事件，若任意两个事件 $A_{i}, A_{j}(i \neq j)$ 相互独立，则称 $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{n}$ 两两独立。

性质：

1. 必然事件$\Omega$和不可能事件$\varnothing$与任何事件都相互独立；
2. 若事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，则 $A$ 与 $\bar{B}$ 、 $\bar{A}$ 与 $B$ 、$\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也相互独立；
3. 若事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，则 $P(A)=P(A \mid B), P(B)=P(B \mid A)$。
4. 对于相互独立的随机事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{n}$ ，由他们中任何一部分事件的运算结果（和、积、差、逆等等）所得到的事件与其它一部分事件或他们的运算结果都是相互独立的。