数字逻辑

重点 #

• 三种基本逻辑关系：与、或、非及其运算规则、真值表和图形符号；
• 常用复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或及其运算规则、真值表和图形符号；
• 逻辑功能的描述及其相互之间的转换，真值表、逻辑式、逻辑图、波形图、卡诺图；
• 逻辑代数的公式及函数化简；
• 卡诺图法化简逻辑函数。

一、逻辑代数运算 #

1、与运算（AND） #

运算规则：只有当两个输入都为 1 时，输出才为 1；只要有一个输入为 0，输出即为 0。

逻辑表达式：Y = A · B

图形符号：

真值表：

A	B	Y = A · B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

2、或运算（OR） #

运算规则：只要两个输入中至少有一个为 1，输出就为 1；只有两个输入都为 0 时，输出才为 0。

逻辑表达式：Y = A + B

图形符号：

真值表：

A	B	Y = A + B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

3、非运算（NOT） #

运算规则：输出始终与输入相反：输入为 0 时输出为 1；输入为 1 时输出为 0。

逻辑表达式：Y = ¬A

图形符号：

真值表：

A	Y = ¬A
0	1
1	0

4、与非运算（NAND） #

运算规则：先进行与运算，再将结果取反。只有当两个输入都为 1 时，输出为 0；其余情况输出均为 1。

逻辑表达式：Y = ¬(A · B)

图形符号：

真值表：

A	B	Y = ¬(A · B)
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

5、或非运算（NOR） #

运算规则：先进行或运算，再将结果取反。只有当两个输入都为 0 时，输出为 1；只要有一个输入为 1，输出即为 0。

逻辑表达式：Y = ¬(A + B)

图形符号：

真值表：

A	B	Y = ¬(A + B)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

6、异或运算（XOR） #

运算规则：当两个输入不相同时，输出为 1；当两个输入相同时，输出为 0。

逻辑表达式：Y = A ⊕ B = (¬A · B) + (A · ¬B)

图形符号：

真值表：

A	B	Y = A ⊕ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

7、同或运算（XNOR） #

运算规则：当两个输入相同时，输出为 1；当两个输入不同时，输出为 0。同或运算等价于对异或运算结果取反。

逻辑表达式：Y = ¬(A ⊕ B) = (A · B) + (¬A · ¬B)

图形符号：

真值表：

A	B	Y = ¬(A ⊕ B)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

8、与或非运算（AOI，AND-OR-INVERT） #

运算规则：与或非门是复合逻辑门。以常见的 AOI21 为例：先计算 A · B，再将该结果与 C 进行或运算，最后对总结果取反。

逻辑表达式：Y = ¬((A · B) + C)

图形符号：

真值表：

A	B	C	A · B	(A · B) + C	Y = ¬((A · B) + C)
0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	1	0
0	1	0	0	0	1
0	1	1	0	1	0
1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0

二、逻辑代数的基本定理 #

1、代入定理 #

代入定理说明：在一个恒等成立的逻辑等式中，若把等式两边同一个变量的所有出现位置，都用同一个逻辑表达式替换，那么替换后的等式仍然成立。它的本质是：逻辑等式对变量的具体表示形式不敏感。原来把某个变量看作一个整体，后来也可以把一个更复杂的逻辑式看作这个整体来参与运算。

若逻辑恒等式为：$F(A,B,\ldots)=G(A,B,\ldots)$ 则对任意逻辑表达式 $P$，将 $A$ 全部替换为 $P$ 后，仍有：$F(P,B,\ldots)=G(P,B,\ldots)$ 更一般地，若同时进行多个代换，例如 $A\leftarrow P$、$B\leftarrow Q$，则：$F(A,B,\ldots)=G(A,B,\ldots)\Rightarrow F(P,Q,\ldots)=G(P,Q,\ldots)$

使用规则：

1. 必须在等式两边进行相同的替换。
2. 同一个变量出现多次时，必须全部替换，不能只替换其中一部分。
3. 被代入的 $P$ 可以是单个变量、常量，也可以是包含与、或、非运算的复杂逻辑式。
4. 代入后要注意括号，避免改变原式的运算结构。

主要用法：

• 将已经掌握的基本恒等式推广到复杂逻辑式。
• 在逻辑函数化简中，把复杂子式暂时看成一个整体，从而直接套用分配律、吸收律等公式。
• 在电路设计中，对模块的输入输出关系进行替换和组合。

2、反演定理 #

反演定理用于求一个逻辑表达式的反函数，即求 $\overline{F}$。对逻辑表达式 $F$ 求反时，不需要先逐层展开再计算；只需按照一定规则，把原式中的逻辑变量、逻辑常量和运算符同时反演，即可得到 $\overline{F}$。

设逻辑函数为：$F=F(A,B,\ldots;0,1;+ ,\cdot)$ 则其反函数可写为：$\overline{F}=F(\overline{A},\overline{B},\ldots;1,0;\cdot,+)$ 这表示：求 $F$ 的反时，需要将变量取反、常量互换、与或运算互换。

对一个逻辑表达式整体取反时，按以下规则同时处理：

原内容	反演后
$A$	$\overline{A}$
$\overline{A}$	$A$
$0$	$1$
$1$	$0$
$+$	$\cdot$
$\cdot$	$+$

注意：原表达式中的括号层次不变，只是在每一层中将与、或互换，并对变量和常量进行反演。

主要用法：

• 快速求逻辑函数的反函数 $\overline{F}$。
• 将逻辑表达式转换为只用与非门或只用或非门实现的形式。
• 分析低电平有效信号，例如带横线的使能端、清零端和片选端。
• 对含有多层括号的逻辑式进行化简和变形。

3、对偶定理 #

对偶定理说明：任何一个成立的逻辑恒等式，将其中所有的“或”与“与”互换，同时将所有的 $0$ 与 $1$ 互换，得到的新等式仍然成立。由原表达式按上述规则得到的新表达式，称为原表达式的对偶式。

若逻辑恒等式为：$F(A,B,\ldots;0,1;+ ,\cdot)=G(A,B,\ldots;0,1;+ ,\cdot)$ 将其中的 $+$ 与 $\cdot$ 互换，并将 $0$ 与 $1$ 互换，得到对偶式： $F^{d}(A,B,\ldots;1,0;\cdot,+)=G^{d}(A,B,\ldots;1,0;\cdot,+)$仍然成立。 也可简写为： $F=G\Rightarrow F^{d}=G^{d}$ 其中，$F^{d}$ 表示 $F$ 的对偶式。

原内容	对偶后
$+$	$\cdot$
$\cdot$	$+$
$0$	$1$
$1$	$0$
$A$	$A$
$\overline{A}$	$\overline{A}$

注意：构造对偶式时，变量本身和变量的反变量均保持不变；只交换运算符和逻辑常量。括号层次也保持不变。

主要用法：

• 已知一个逻辑恒等式时，可迅速写出另一个同样成立的对偶恒等式。
• 减少公式记忆量。例如记住一条分配律，就能通过对偶关系得到另一条。
• 检查逻辑代数公式是否遗漏对应的对偶形式。
• 在逻辑函数化简和电路推导中，快速得到对称的变换结果。

三、逻辑函数的化简 #

把一个逻辑函数写成最小项标准表达式。它又称为标准与或式或最小项之和形式。与或式最简的标准，两个最少原则:

• 与项个数最少；
• 每个与项中变量个数最少。 这样，电路简单，实现容易，故障率低。

注意：最小项标准表达式是一种规范、完整的表达形式，不一定是项数最少的“最简表达式”。

1、最小项 #

定义： 对于含有 $n$ 个变量的逻辑函数，若一个与项中：

1. $n$ 个变量都出现；
2. 每个变量只出现一次；
3. 每个变量以原变量或反变量的形式出现； 则这个与项称为一个最小项。

例如，对于变量 $A,B,C$： $A\overline{B}C$ 是最小项，因为 $A,B,C$ 都出现且各出现一次。 $AB$ 不是三变量函数 $A,B,C$ 的最小项，因为它缺少变量 $C$。 $A\overline{A}B$ 不是最小项，因为变量 $A$ 重复出现，并且该项恒为 $0$。

最小项的构造规则：

先固定变量顺序。例如规定变量顺序为 $A,B,C$。

将某一输入组合写成二进制数时：

• 位值为 $0$ 的变量写成反变量；
• 位值为 $1$ 的变量写成原变量。

例如，输入组合 $A=1,B=0,C=1$ 对应二进制数 $101_2$，十进制编号为 $5$，其最小项为：

$m_5=A\overline{B}C$

三变量函数的全部最小项如下：

编号	$ABC$ 的二进制值	最小项
$m_0$	$000$	$\overline{ABC}$
$m_1$	$001$	$\overline{AB}C$
$m_2$	$010$	$\overline{A}B\overline{C}$
$m_3$	$011$	$\overline{A}BC$
$m_4$	$100$	$A\overline{BC}$
$m_5$	$101$	$A\overline{B}C$
$m_6$	$110$	$AB\overline{C}$
$m_7$	$111$	$ABC$

2、最小项的性质 #

设函数有 $n$ 个变量，则共有 $2^n$ 个最小项，分别记为：$m_0,m_1,\ldots,m_{2^n-1}$

• 每个最小项只在唯一的一组输入下取 $1$
• 任意两个不同最小项互斥
• 全部最小项之和恒为 $1$
• 任意逻辑函数都能唯一表示为若干最小项之和
• 最小项编号取决于变量顺序

3、最小项标准表达式 #

若一个逻辑函数表示为若干个最小项的逻辑或，即：$F=m_{i_1}+m_{i_2}+\cdots+m_{i_k}$，则该表达式称为函数的最小项标准表达式。

4、公式法化简 #

公式法是利用逻辑代数的基本公式、基本定理和恒等变形，将原表达式逐步化简为最简与或式的方法。适用于变量较少、表达式结构较清晰，或者需要在推导过程中展示化简依据的题目。

核心思路： 公式法的目标不是机械地展开，而是不断寻找能够合并、吸收或删除冗余项的结构。化简时应优先寻找：

• 仅有一个变量互补的相邻项；
• 某一项被另一项包含的情形；
• 可以由冗余项删除的共识项；
• 可以通过因式分解后使用互补律或分配律的结构。

并项法： 当两个乘积项只有一个变量互补，而其他部分完全相同时，可以合并并消去这一对互补变量：$AB+A\bar{B}=A$

吸收法： 若一个项已经包含了另一个项所表示的全部情况，则较复杂的一项可以被吸收：$A+AB=A$ 对偶形式为：$A(A+B)=A$

消因子法： 利用公式：$A+\bar{A}B=A+B$，将带有互补因子的项化为更简单的或项。

消项法（冗余定理）： 若表达式中存在下列结构：$AB+\bar{A}C+BC=AB+\bar{A}C$，其中的 $BC$ 称为冗余项，可以删除。

配项与补项： 配项的本质是通过等价变形构造可使用并项法、吸收法或冗余定理的结构。常用依据包括： $X+\bar{X}=1$ $X\bar{X}=0$ $X=X+XY$ $X=X(X+Y)$ 使用时必须保证加入或拆分后的表达式与原函数等价，不能随意增加非冗余项。

对偶式辅助化简： 对不易展开的逻辑式，可先化简其对偶式，然后根据化简后的对偶式再写出原逻辑式。

5、卡诺图法 #

卡诺图法是利用变量取值之间的相邻关系，将函数值为 $1$ 的最小项在卡诺图中按 $2$ 的整数次幂进行分组，从而直接得到最简与或式的方法。它尤其适合由真值表、最小项编号或最小项标准表达式求最简与或式的问题。

格雷码排列：

卡诺图的行、列标签必须按照格雷码排列，使相邻格只相差一个变量。[格雷码](格雷码 - 维基百科，自由的百科全书)是一个数列集合，相邻两数间只有一个位元改变，为无权数码，且格雷码的顺序不是唯一的。

例如，两位变量的排列顺序为：

$00,01,11,10$

不能写成普通二进制顺序 $00,01,10,11$。

标记函数值：

对于最简与或式，应在函数值为 $1$ 的格子中填入 $1$。 若题目给出无关项，可以填入 $X$。无关项可参与分组，也可以不参与分组，具体以能否使结果更简为准。

分组大小：

每一个分组中包含的格数必须为 $2$ 的整数次幂：

$1,2,4,8,16,\cdots$

分组越大，得到的乘积项中保留下来的变量越少。

相邻关系：

卡诺图中以下格子视为相邻：

• 水平相邻的格子；
• 垂直相邻的格子；
• 最左列与最右列对应的格子；
• 最上行与最下行对应的格子；
• 四个角上的格子彼此可以构成环绕相邻关系。

对角线方向的格子不相邻。

允许重叠

不同分组之间可以重叠。重叠的目的通常是覆盖某些只能由特定组覆盖的 $1$，或获得更大的分组以减少文字数。

卡诺图化简为最简与或式的步骤：

1. 根据题目写出函数为 $1$ 的最小项编号，或由真值表确定所有值为 $1$ 的格子。
2. 按格雷码顺序填写卡诺图。
3. 优先圈出包含格子数最多的组，即优先圈 $8$ 格、$4$ 格、$2$ 格，最后才考虑单格。
4. 保证每一个 $1$ 至少被一个分组覆盖。
5. 先选择覆盖“孤立的 $1$”或“只能由一个组覆盖的 $1$”的必要分组。
6. 对每个分组，找出在组内始终不变的变量：
   • 不变且取值为 $1$ 的变量写原变量；
   • 不变且取值为 $0$ 的变量写反变量；
   • 在组内发生变化的变量消去。
7. 将各分组对应的乘积项相加，得到最简与或式。

由分组写出乘积项的规则：

只有在整个分组内取值保持不变的变量才保留。设某个分组内：

• $A$ 始终为 $1$，保留 $A$；
• $B$ 始终为 $0$，保留 $\bar{B}$；
• $C$、$D$ 在组内发生变化，删除 $C$、$D$。

则该组对应的乘积项为：

$A\bar{B}$

四变量卡诺图示例：

已知：

$F(A,B,C,D)=\Sigma m(0,1,2,3,8,9,10,11,12,13,14,15)$

以 $AB$ 为行变量、$CD$ 为列变量，卡诺图如下：

$AB\backslash CD$	$00$	$01$	$11$	$10$
$00$	$1$	$1$	$1$	$1$
$01$	$0$	$0$	$0$	$0$
$11$	$1$	$1$	$1$	$1$
$10$	$1$	$1$	$1$	$1$

分组一：

将 $AB=00$ 和 $AB=10$ 两行的全部 $1$ 作为一个 $8$ 格组。由于卡诺图首尾相邻，这两行可以环绕相邻。

在该组中：

• $B=0$ 始终不变；
• $A$、$C$、$D$ 都发生变化。

因此，该组对应的乘积项为：

$\bar{B}$

分组二：

将 $AB=11$ 和 $AB=10$ 两行的全部 $1$ 作为另一个 $8$ 格组。

在该组中：

• $A=1$ 始终不变；
• $B$、$C$、$D$ 都发生变化。

因此，该组对应的乘积项为：

$A$

将两个分组对应的乘积项相或，得到：

$F=A+\bar{B}$

这就是该函数的最简与或式。

卡诺图法的选组原则：

为了使得到的表达式最简，应遵守以下优先级：

1. 优先选择最大的组。
2. 在能够覆盖所有 $1$ 的前提下，分组个数尽量少。
3. 分组时允许重叠，但重叠必须有助于减少项数或文字数。
4. 不要遗漏边界相邻和角相邻的环绕关系。
5. 最终每个 $1$ 都必须至少被覆盖一次。
6. 不要为了“看起来整齐”而使用比必要数量更多的小组。