随机变量的数字特征
一、数学期望
1、随机变量的数学期望
若 $X$ 为离散型 $r \cdot v$ ，其概率分布为 $P\left{X=x{k}\right}=p{k} \quad(k=1,2, \cdots)$，若级数 $\sum{k=1}^{\infty} x{k} p{k}$ 绝对收敛，则称其为 $X$ 的数学期望，简称为期望，记作 $EX$ ，即 $E X=\sum{k=1}^{\infty} x{k} p{k}$。否则，称 $X$ 的数学期望不存在。
若 X 为连续型 $r \cdot v$ ，其概率分布为 $f(x)$ ，如果广义积分 $\int{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$ 绝对收敛，则称其为 $X$ 的数学期望，记作 $EX=\int{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$ 。否则，称 $X$ 的数学期望不存在。
2、随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望：
设 $Y$ 是随机变量 $X$ 的函数，记为 $Y=g(X)$ ， $g(x)$ 为连续函数。
- 设离散型$r\cdot v X$ 的概率分布为 $P\left{X=x{k}\right}=p{k} (k=1,2, \cdots)$ 。如果级数 $\sum{k=1}^{\infty} g\left(x{k}\right) p{k}$ 绝对收敛，则有$EY=Eg(X)=\sum{k=1}^{\infty} g\left(x{k}\right) p{k}$。
- 设连续型 $r \cdot v X$ 概率分布为 $f(x)$ ，若 $\int{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) dx$ 绝对收敛，则有$E Y=E g(X)=\int{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) dx$。
二维随机变量函数的数学期望：
设 (X, Y) 是二维随机向量，g(X, Y) 为 (X, Y) 函数，且 g 连续。
- 若 $(X, Y)$ 为离散型 $r \cdot v$ ，其概率分布为$P\left{X=x{i}, Y=y{j}\right}=p{i j} (i, j=1,2, \cdots)$。如果级数 $\sum{i=1}^{\infty} \sum{j=1}^{\infty} g\left(x{i}, y{j}\right) p{i j}$ 绝对收敛，则有 $E g(X, Y)=\sum{i=1}^{\infty} \sum{j=1}^{\infty} g\left(x{i}, y{j}\right) p_{i j}$。
- 若 (X, Y) 为连续型 $r \cdot v$ ，其概率分布为 $f(x, y)$ ，如果广义积分 $\int{-\infty}^{+\infty} \int{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y$ 绝对收敛，则有$E g(X, Y)=\int{-\infty}^{+\infty} \int{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y$。
3、数学期望的性质
- $E C=C$, $C$ 为常数；
- $E(C X)=C E X$, $C$ 为常数；
- $E(X+Y)=E X+E Y$ 。此性质可推广到任意有限个随机变量的情形，即$E\left(X{1}+X{2}+\cdots+X{n}\right)=E X{1}+E X{2}+\cdots+E X{n}$；
- 当 $X$ 、$Y$ 相互独立时，则有 $E X Y=E X \cdot E Y$ 。此性质也可推广到任意有限个相互独立随机变量的情形。
4、常用分布的数学期望
| 分布名称 | 符号 | 数学期望 |
|---|---|---|
| 0-1分布 | $B(1,p)$ | $p$ |
| 二项分布 | $B(n,p)$ | $np$ |
| 泊松分布 | $P(\lambda)$ | $\lambda$ |
| 几何分布 | $G(p)$ | $\frac{1}{p}$ |
| 超几何分布 | $H(N,M,n)$ | $\frac{nM}{N}$ |
| 均匀分布 | $U(a,b)$ | $\frac{a+b}{2}$ |
| 指数分布 | $e(\lambda)$ | $\frac{1}{\lambda}$ |
| 正态分布 | $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ |
二、方差
方差：设 $X$ 为随机变量，若 $E(X-E X)^{2}$ 存在，则称 $E(X-E X)^{2}$ 为 $X$ 的方差，记为 $DX$ 或 $\operatorname{Var}(X)$ ，即$D X=E(X-E X)^{2}$。而 $\sqrt{D X}$ 称为 $X$ 的标准差或均方差，记为 $\sigma(X)$ 。
方差的计算：
- 对于离散型随机变量 $X$ ，若其概率分布为 $P\left{X=x{k}\right}=p{k}(k=1,2, \cdots)$ 则有 $DX=\sum{k=1}^{\infty}\left(x{k}-E X\right)^{2} p_{k}$；
- 对于连续型随机变量 $X$ ，若其概率分布为 $f(x)$ ，则有 $DX=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E X)^{2} f(x) d x$；
- 计算方差的一个重要公式：$DX=E X^{2}-(E X)^{2}$。
方差的性质：
- $DC=0$（$C$ 为常数）；
- $D(CX)=C^{2} DX$ （$C$ 为常数）；
- 设 $X$ 为随机变量，$C$ 为常数且 $C \neq EX$ ，则$D X<E(X-C)^{2}$；
- 当 $X$ 、$Y$ 相互独立时，有 $D(X+Y)=D X+D Y$ ；
- 设 $X$ 为随机变量，$D X=0$ 的充分必要条件是 $P{X=C}=1$，$C$ 为常数。
常用分布的方差：
| 分布名称 | 符号 | 数学期望 | 方差 |
|---|---|---|---|
| 0-1分布 | $B(1,p)$ | $p$ | $pq$ |
| 二项分布 | $B(n,p)$ | $np$ | $npq$ |
| 泊松分布 | $P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 几何分布 | $G(p)$ | $\frac{1}{p}$ | $\frac{1-p}{p^2}$ |
| 超几何分布 | $H(N,M,n)$ | $\frac{nM}{N}$ | $\frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1})$ |
| 均匀分布 | $U(a,b)$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| 指数分布 | $e(\lambda)$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
| 正态分布 | $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
三、协方差与相关系数
设 $X$ 与 $Y$ 是两个随机变量，若 $E(X-E X)(Y-E Y)$ 存在，则称其为随机变量 $X$ 与 $Y$ 的协方差，记为 $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ，即
称为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数或标准协方差。
协方差的计算公式：$\operatorname{Cov}(X, Y)=EXY-EXEY$。
协方差的性质
- $\operatorname{Cov}(X, X)=D X$；
- $\operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Cov}(Y, X)$；
- $\operatorname{Cov}(C, X)=0$ ，其中$C$为常数；
- $X$、$Y$ 相互独立时，$\operatorname{Cov}(X, Y)=0$；
- $\operatorname{Cov}(a X, b Y)=a b \operatorname{Cov}(X, Y)$，其中 $a$, $b$ 为常数；
- $\operatorname{Cov}\left(X{1}+X{2},Y\right)=\operatorname{Cov}\left(X{1}, Y\right)+\operatorname{Cov}\left(X{2},Y\right)$；
相关系数的性质：
- 设 $\rho{X Y}$ 是随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数，则有 $|\rho{X Y}| \leq 1$ ；且 $|\rho_{X Y}|=1$ 的充要条件是 $X$ 与 $Y$ 依概率1线性相关，即存在常数 $a$、$b$ 使 $P{Y=aX+b}=1$ 。
- 若 $\rho{X Y}=0$ ，则称 $X$ 与 $Y$ 不相关。显然，当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时，必有 $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$ ，从而 $\rho{X Y}=0$ ，即 $X$ 与 $Y$ 不相关。当 X 与 Y 相互独立时，则有 \rho{X Y}=0 ；反之不然
特殊情况：当 (X, Y) 服从二维正态分布时， X 与 Y 不相关 $\left(\rho=0\left(\rho{X Y}=\rho\right)\right)$ $\Leftrightarrow$ X 与 Y 相互独立。
不相关与独立性的关系：
